Les parents, Elizabeth Handy et Bilal Walk, veulent que leur fille âgée de 22 mois s'appelle ZalyKha Graceful Lorraina Allah.
Mais selon des responsables du ministère de la Santé publique cités par The Atlanta Journal-Constitution, la loi locale exige que le nom de famille de l'enfant soit Handy ou Walk ou une combinaison des deux.
La branche locale de l'American Civil Liberties Union (Aclu) a porté plainte le 23 mars contre l'Etat de Géorgie.
"Ce n'est pas l'affaire du gouvernement de dire aux parents comment ils peuvent ou ne peuvent pas appeler leurs enfants", estime Andrea Young, directrice exécutive de l'Aclu pour la Géorgie.
De leur côté, les parents déclarent avoir choisi de donner à leur enfant le nom d'Allah parce qu'il est "noble" et que cela n'a rien à voir avec la religion.
Ils se plaignent de ne pouvoir obtenir de certificat de naissance et donc de numéro de sécurité sociale pour leur enfant à cause du refus des autorités.
Ils craignent également d'avoir des difficultés en matière d'accès aux soins, de scolarisation ou de possibilités de voyager, selon le journal.
"C'est tout simplement injuste et cela constitue une violation de nos droits", estime M. Walk.
"L'action du ministère entrave les droits du couple d'élever leur enfant et constitue une violation patente du droit à la liberté d'expression et du droit à l'égalité de la protection devant la loi", ajoute Mme Young.